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第六十四章 塞瓦定理、梅涅劳斯定理

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  看看时间,居然花了差不多十五分钟,秦克搓了搓冰冷僵硬的手指,然后用力地掐了下大腿,让自己的大脑保持着清醒,但身上的寒意越来越盛,偏呼出的气息越来越灼热,太阳穴也越来越胀痛,有种隐隐的晕眩感。

秦克能明显感觉自己的思维速度较之开考时又下降了不少。

不行,要再加快点!

秦克深吸口气,强逼自己集中精神,继续看向第二道附加题。

“附加题二:已知△ABC的三条边BC、CA、AB上各有一点D、E、F,且满足AD、BE、CF交于一点G,若△AGE,△CGD,△BGF的面积相等,求证:G是△ABC的重心。”

秦克松了口气,这题看起来较之刚才第一题倒是相对容易了些,主要知识点涉及到的是三角形五心中的“重心”,也就是三角形的三条中线相交的点。

这是高中生都会的知识点,想证明G是△ABC的重心,只需要证明D、E、F是△ABC的中点即可。

看似简单,但想证明这点极不容易,因为题目中只给出了面积相等的条件。

面积啊……

秦克立时试着用最擅长构造法加面积法来证明,但刚在脑海里思考了一会儿便发现不妥了。

以目前的条件,无论怎么构造,结合面积法,都只会让问题变得更复杂,哪怕写满整页纸,也未必能证明出来!那就真是纯属浪费时间和精力了!

这是出题人的陷阱!

可恶,这次出题的家伙有点水平啊……偏偏自己的状态不佳。

秦克再次用力掐了自己大腿两下,剧烈的疼痛终于让他的大脑清明了十几秒,他立时捕捉住一闪而逝的灵光,对哦,平面几何里不是有塞瓦定理、梅涅劳斯定理么?

尤其是解决三角形中的一点,以及三角形的三边中的点之间的关系,最适合使用的就是边元塞瓦定理和角元塞瓦定理!

虽然这两个定理生僻了点,但自己前天不是才给宁青筠讲解过么?

秦克迅速便想到了证明思路,提笔便画了个图,然后写道:

“证明:如图所示,设AF/FB=x,BD/CD=y,EC/EA=z,由边元塞瓦定理可得xyz=1。

对于△BFC和直线AGD,使用梅涅劳斯定理,可得FE/CG乘CD/DB乘BA/AF=1。

……

由上式可得x=y=z,由xyz=1可得,x=y=z=1,


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